Buenas noches alumnos como estas aqui esta la notas de finales de Redes Eléctrica I
Nota de Electronica
martes, 25 de agosto de 2009
jueves, 30 de julio de 2009
lunes, 20 de julio de 2009
Respuesta Impulsional
Para conocer o caracterizar un sistema lineal se puede aplicar a su entrada un cierto tipo de señales de prueba y observar su salida. Las señales de prueba más comunes son el impulso unitario, el escalón unitario y las señales sinusoidales. La respuesta del sistema a una señal de prueba es una descripción característica o un modelo matemático del mismo. La caracterización más utilizada en el análisis de sistemas es aquella cuando la entrada es un impulso unitario Delta Dirac aplicado en un instante t = τ cualquiera. La excitación mediante un impulso unitario equivale a aplicar a la entrada del sistema un número infinito de frecuencias de la misma amplitud, y la salida del sistema será la respuesta a todas y cada una de las infinitas frecuencias presentes en la entrada. En este caso la salida se denomina “respuesta impulsional”, “respuesta al impulso” o “respuesta impulsiva” del sistema” y se representa por h(t, τ). Por lo tanto, en un sistema lineal caracterizado por la transformación la respuesta impulsional es, de (2.1)
Circuito RLC
Un circuito RLC es aquel que tiene como componentes una resistencia, un condensador y un inductor conectados en serie En un tiempo igual a cero, el condensador tiene una carga máxima (Qmáx). Después de un tiempo igual a cero, la energía total del sistema está dada por la ecuación presentada en la sección de oscilaciones en circuitos LC U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 ) En las oscilaciones en circuitos LC se había mencionado que las oscilaciones no eran amortiguadas puesto que la energía total se mantenía constante. En circuitos RLC, ya que hay una resistencia, hay oscilaciones amortiguadas porque hay una parte de la energía que se transforma en calor en la resistencia. El cambio de la energía total del sistema dependiendo del tiempo está dado por la disipación de energía en una resistencia: dU/dt = − I2R Luego se deriva la ecuación de la energía total respecto al tiempo y se remplaza la dada: LQ´ + RQ´ + (Q/C) = 0 Se puede observar que el circuito RCL tiene un comportamiento oscilatorio amortiguado: m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx = 0 Si se tomara una resistencia pequeña, la ecuación cambiaría a : Q = Qmáx e −(Rt/2L)Cos wt , w = [ (1/LC) − (R/2L)2 ] 1/2 Entre más alto el valor de la resistencia, la oscilación tendrá amortiguamiento más veloz puesto que absorbería más energía del sistema. Si R es igual a (4L/C) ½ el sistema se encuentra sobreamortiguado.
Prueba de estabilidad de Routh-Hurtwitz.
Estabilidad.
Al estudiar la estabilidad de un sistema se debe distinguir entre estabilidad absoluta y estabilidad relativa.
Estabilidad absoluta:
Si un sistema lineal invariante en el tiempo es estable volverá a su condición de equilibrio después ser sometido a una perturbación en una de sus entradas. Matemáticamente, se sabe que un sistema es estable cuando todas las raíces de su ecuación característica se encuentran localizadas en el semiplano izquierdo del plano s.
Estabilidad relativa:
Se refiere al grado de estabilidad de la respuesta y se mide con parámetros como el factor de amortiguamiento ( ) y el máximo pico Mp.
Criterio de Ruth:
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz para un sistema a lazo cerrado no requiere del cálculo de los valores de las raíces de la ecuación característica, este criterio sólo indica si las raíces están del lado derecho del eje imaginario.
Sistemas de Segundo Orden
Matemáticamente, un sistema de segundo orden se rige por una ecuación diferencial de segundo orden (es decir, reducible a expresiones con derivadas segundas. Desde el punto de vista físico, estos sistemas deben ser capaces de almacenar energía y luego devolverla con retraso, por lo que tienden a producirse oscilaciones. Ejemplos típicos de sistemas de segundo orden son un conjunto de muelle y amortiguador, o un circuito RLC, con el "vaivén" de energía reactiva entre condensador y bobina.
Sistemas de orden reducido
En algunos casos, los sistemas de orden superior pueden simplificarse para dar lugar a sistemas de orden inferior más fáciles de analizar.
A) Dominancia: Polos y ceros alejados.
B) Cancelaciones: Pares de polos y ceros próximos.
Para conocer o caracterizar un sistema lineal se puede aplicar a su entrada un cierto tipo de señales de prueba y observar su salida. Las señales de prueba más comunes son el impulso unitario, el escalón unitario y las señales sinusoidales. La respuesta del sistema a una señal de prueba es una descripción característica o un modelo matemático del mismo. La caracterización más utilizada en el análisis de sistemas es aquella cuando la entrada es un impulso unitario Delta Dirac aplicado en un instante t = τ cualquiera. La excitación mediante un impulso unitario equivale a aplicar a la entrada del sistema un número infinito de frecuencias de la misma amplitud, y la salida del sistema será la respuesta a todas y cada una de las infinitas frecuencias presentes en la entrada. En este caso la salida se denomina “respuesta impulsional”, “respuesta al impulso” o “respuesta impulsiva” del sistema” y se representa por h(t, τ). Por lo tanto, en un sistema lineal caracterizado por la transformación la respuesta impulsional es, de (2.1)
Circuito RLC
Un circuito RLC es aquel que tiene como componentes una resistencia, un condensador y un inductor conectados en serie En un tiempo igual a cero, el condensador tiene una carga máxima (Qmáx). Después de un tiempo igual a cero, la energía total del sistema está dada por la ecuación presentada en la sección de oscilaciones en circuitos LC U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 ) En las oscilaciones en circuitos LC se había mencionado que las oscilaciones no eran amortiguadas puesto que la energía total se mantenía constante. En circuitos RLC, ya que hay una resistencia, hay oscilaciones amortiguadas porque hay una parte de la energía que se transforma en calor en la resistencia. El cambio de la energía total del sistema dependiendo del tiempo está dado por la disipación de energía en una resistencia: dU/dt = − I2R Luego se deriva la ecuación de la energía total respecto al tiempo y se remplaza la dada: LQ´ + RQ´ + (Q/C) = 0 Se puede observar que el circuito RCL tiene un comportamiento oscilatorio amortiguado: m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx = 0 Si se tomara una resistencia pequeña, la ecuación cambiaría a : Q = Qmáx e −(Rt/2L)Cos wt , w = [ (1/LC) − (R/2L)2 ] 1/2 Entre más alto el valor de la resistencia, la oscilación tendrá amortiguamiento más veloz puesto que absorbería más energía del sistema. Si R es igual a (4L/C) ½ el sistema se encuentra sobreamortiguado.
Prueba de estabilidad de Routh-Hurtwitz.
Estabilidad.
Al estudiar la estabilidad de un sistema se debe distinguir entre estabilidad absoluta y estabilidad relativa.
Estabilidad absoluta:
Si un sistema lineal invariante en el tiempo es estable volverá a su condición de equilibrio después ser sometido a una perturbación en una de sus entradas. Matemáticamente, se sabe que un sistema es estable cuando todas las raíces de su ecuación característica se encuentran localizadas en el semiplano izquierdo del plano s.
Estabilidad relativa:
Se refiere al grado de estabilidad de la respuesta y se mide con parámetros como el factor de amortiguamiento ( ) y el máximo pico Mp.
Criterio de Ruth:
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz para un sistema a lazo cerrado no requiere del cálculo de los valores de las raíces de la ecuación característica, este criterio sólo indica si las raíces están del lado derecho del eje imaginario.
Sistemas de Segundo Orden
Matemáticamente, un sistema de segundo orden se rige por una ecuación diferencial de segundo orden (es decir, reducible a expresiones con derivadas segundas. Desde el punto de vista físico, estos sistemas deben ser capaces de almacenar energía y luego devolverla con retraso, por lo que tienden a producirse oscilaciones. Ejemplos típicos de sistemas de segundo orden son un conjunto de muelle y amortiguador, o un circuito RLC, con el "vaivén" de energía reactiva entre condensador y bobina.
Sistemas de orden reducido
En algunos casos, los sistemas de orden superior pueden simplificarse para dar lugar a sistemas de orden inferior más fáciles de analizar.
A) Dominancia: Polos y ceros alejados.
B) Cancelaciones: Pares de polos y ceros próximos.
Modulacion
Definición de Modulación
La modulación de señales es un concepto fundamental en comunicaciones, y consiste en usar una señal base (que lleva la información que deseamos transmitir) para modificar las propiedades de una señal portadora (típicamente una frecuencia pura de frecuencia mucho más alta). En el caso más sencillo, la señal base modifica la amplitud de la portadora, y tenemos un sistema AM (amplitud modulada). En otros métodos se usa la señal original para modificar la frecuencia (FM) o fase (PM) de la portadora.
Consideremos una señal de voz v(t) cuya transformada de Fourier es V ( ). Veamos que sucede si cogemos una portadora ideal, una exponencial compleja de frecuencia c y amplitud 1, y hacemos que nuestra señal de voz determine la amplitud de dicha portadora:
Por propiedades de la TF vemos que la TF de la nueva señal mantiene su forma V ( ) sólo que ahora se encuentra centrada en !c, en vez de en 0. Al mantener la forma está claro que podremos recuperar la señal original simplemente volviendo a multiplicar por (esto es, desmodulando).
En el mundo real las cosas son un poco más complicadas. Nosotros debemos trabajar con señales reales, por lo que no podemos multiplicar por exponenciales complejas al modular o demodular. En vez de eso usaremos sinusoides reales, por ejemplo cos ( ct), para modular nuestras señales.
Modular una señal consiste en modificar alguna de las características de esa señal, llamada portadora, de acuerdo con las características de otra señal llamada moduladora.
En la figura, se puede observar que la señal portadora es modificada basándose en la amplitud de la señal moduladora y la señal resultante es la que se muestra en el lado derecho de la figura.
El objetivo de modular una señal, es tener un control sobre la misma. El control se hará sobre ciertos elementos característicos de una oscilación continua; estos son modificados según la forma de onda de la señal que se desea transmitir.
Los parámetros o magnitudes fundamentales de una señal analógica son: Amplitud, Frecuencia y Fase.
Señales Moduladas
Continua
AM: Modulación en Amplitud
FM: Modulación en Frecuencia
PM: Modulación en Fase
Discontinua (por pulsos)
PAM: Modulación por Amplitud de Pulsos
PWM: Modulación por Anchura de Pulso
PPM: Modulación por Posición de Pulso
Modulación en Frecuencia (FM):
La modulación en frecuencia (FM) es el proceso de combinar una señal de AF (Audio Frecuencia) con otra de RF (Radio Frecuencia) en el rango de frecuencias entre 88MHz y 108MHz, tal que la amplitud de la AF varíe la frecuencia de la RF.
Si la señal de modulación varía en frecuencia, no tiene efecto en las excursiones máxima y mínima de la frecuencia de portadora, sino que solo determina la rapidez o lentitud con que ocurren las variaciones en la frecuencia. Es decir, que una frecuencia mas baja de modulación provoca que ocurran variaciones a una tasa más lenta, y una frecuencia mas alta de modulación hace que ocurran a una tasa más rápida. Sin embargo, las variaciones en amplitud de la señal de modulación si afectan las excursiones máxima y mínima de la frecuencia portadora. Una señal de mayor amplitud provoca un mayor cambio en la frecuencia y una señal más pequeña provoca un cambio menor en la frecuencia.
Bandas de Frecuencias:
El espectro electromagnético está dividido en bandas de frecuencias de radio enlaces conforme a las normas de los organismos reguladores de las comunicaciones mundiales, los cuales son parte de la Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT). Las frecuencias para radiocomunicaciones se definen entre límites bien establecidos y respetados por los diseñadores y usuarios. Las bandas que encuadran las diferentes opciones de radiocomunicación se describen a continuación.
¿Porque se Modula?
Existen varias razones para modular, entre ellas:
• Facilita la PROPAGACIÓN de la señal de información por cable o por el aire.
• Ordena el RADIOESPECTRO, distribuyendo canales a cada información distinta.
• Disminuye DIMENSIONES de antenas.
• Optimiza el ancho de banda de cada canal
• Evita INTERFERENCIA entre canales.
• Protege a la Información de las degradaciones por RUIDO.
• Define la CALIDAD de la información trasmitida.
•
Que Tipos de Modulación Existen?
Existen básicamente dos tipos de modulación: la modulación ANALÓGICA, que se realiza a partir de señales analógicas de información, por ejemplo la voz humana, audio y video en su forma eléctrica y la modulación DIGITAL, que se lleva a cabo a partir de señales generadas por fuentes digitales, por ejemplo una computadora.
• Modulación Analógica: AM, FM, PM
• Modulación Digital: ASK, FSK, PSK, QAM
•
¿Como Afecta el Canal a la Señal?
Depende del medio o canal, ya que hay unos mejores que otros, aunque también depende del tipo de modulación y aplicación.
Los principales efectos que sufre la señal al propagarse son:
• Atenuación
• Desvanecimiento
• Ruido Blanco aditivo
• Interferencia externa
• Ruido de fase
• Reflexión de señales
• Refracción
• Difracción
• Dispersión
¿Que Relación Existe Entre la Modulación y el canal?
El canal influye fuertemente en la elección del tipo de modulación de un sistema de comunicaciones, principalmente debido al ruido.
• CANAL: Ruido, Distorsión, Interferencia y Atenuación.
• MODULACIÓN: Inmunidad al ruido, Protege la calidad de la información, Evita interferencia.
La modulación de señales es un concepto fundamental en comunicaciones, y consiste en usar una señal base (que lleva la información que deseamos transmitir) para modificar las propiedades de una señal portadora (típicamente una frecuencia pura de frecuencia mucho más alta). En el caso más sencillo, la señal base modifica la amplitud de la portadora, y tenemos un sistema AM (amplitud modulada). En otros métodos se usa la señal original para modificar la frecuencia (FM) o fase (PM) de la portadora.
Consideremos una señal de voz v(t) cuya transformada de Fourier es V ( ). Veamos que sucede si cogemos una portadora ideal, una exponencial compleja de frecuencia c y amplitud 1, y hacemos que nuestra señal de voz determine la amplitud de dicha portadora:
Por propiedades de la TF vemos que la TF de la nueva señal mantiene su forma V ( ) sólo que ahora se encuentra centrada en !c, en vez de en 0. Al mantener la forma está claro que podremos recuperar la señal original simplemente volviendo a multiplicar por (esto es, desmodulando).
En el mundo real las cosas son un poco más complicadas. Nosotros debemos trabajar con señales reales, por lo que no podemos multiplicar por exponenciales complejas al modular o demodular. En vez de eso usaremos sinusoides reales, por ejemplo cos ( ct), para modular nuestras señales.
Modular una señal consiste en modificar alguna de las características de esa señal, llamada portadora, de acuerdo con las características de otra señal llamada moduladora.
En la figura, se puede observar que la señal portadora es modificada basándose en la amplitud de la señal moduladora y la señal resultante es la que se muestra en el lado derecho de la figura.
El objetivo de modular una señal, es tener un control sobre la misma. El control se hará sobre ciertos elementos característicos de una oscilación continua; estos son modificados según la forma de onda de la señal que se desea transmitir.
Los parámetros o magnitudes fundamentales de una señal analógica son: Amplitud, Frecuencia y Fase.
Señales Moduladas
Continua
AM: Modulación en Amplitud
FM: Modulación en Frecuencia
PM: Modulación en Fase
Discontinua (por pulsos)
PAM: Modulación por Amplitud de Pulsos
PWM: Modulación por Anchura de Pulso
PPM: Modulación por Posición de Pulso
Modulación en Frecuencia (FM):
La modulación en frecuencia (FM) es el proceso de combinar una señal de AF (Audio Frecuencia) con otra de RF (Radio Frecuencia) en el rango de frecuencias entre 88MHz y 108MHz, tal que la amplitud de la AF varíe la frecuencia de la RF.
Si la señal de modulación varía en frecuencia, no tiene efecto en las excursiones máxima y mínima de la frecuencia de portadora, sino que solo determina la rapidez o lentitud con que ocurren las variaciones en la frecuencia. Es decir, que una frecuencia mas baja de modulación provoca que ocurran variaciones a una tasa más lenta, y una frecuencia mas alta de modulación hace que ocurran a una tasa más rápida. Sin embargo, las variaciones en amplitud de la señal de modulación si afectan las excursiones máxima y mínima de la frecuencia portadora. Una señal de mayor amplitud provoca un mayor cambio en la frecuencia y una señal más pequeña provoca un cambio menor en la frecuencia.
Bandas de Frecuencias:
El espectro electromagnético está dividido en bandas de frecuencias de radio enlaces conforme a las normas de los organismos reguladores de las comunicaciones mundiales, los cuales son parte de la Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT). Las frecuencias para radiocomunicaciones se definen entre límites bien establecidos y respetados por los diseñadores y usuarios. Las bandas que encuadran las diferentes opciones de radiocomunicación se describen a continuación.
¿Porque se Modula?
Existen varias razones para modular, entre ellas:
• Facilita la PROPAGACIÓN de la señal de información por cable o por el aire.
• Ordena el RADIOESPECTRO, distribuyendo canales a cada información distinta.
• Disminuye DIMENSIONES de antenas.
• Optimiza el ancho de banda de cada canal
• Evita INTERFERENCIA entre canales.
• Protege a la Información de las degradaciones por RUIDO.
• Define la CALIDAD de la información trasmitida.
•
Que Tipos de Modulación Existen?
Existen básicamente dos tipos de modulación: la modulación ANALÓGICA, que se realiza a partir de señales analógicas de información, por ejemplo la voz humana, audio y video en su forma eléctrica y la modulación DIGITAL, que se lleva a cabo a partir de señales generadas por fuentes digitales, por ejemplo una computadora.
• Modulación Analógica: AM, FM, PM
• Modulación Digital: ASK, FSK, PSK, QAM
•
¿Como Afecta el Canal a la Señal?
Depende del medio o canal, ya que hay unos mejores que otros, aunque también depende del tipo de modulación y aplicación.
Los principales efectos que sufre la señal al propagarse son:
• Atenuación
• Desvanecimiento
• Ruido Blanco aditivo
• Interferencia externa
• Ruido de fase
• Reflexión de señales
• Refracción
• Difracción
• Dispersión
¿Que Relación Existe Entre la Modulación y el canal?
El canal influye fuertemente en la elección del tipo de modulación de un sistema de comunicaciones, principalmente debido al ruido.
• CANAL: Ruido, Distorsión, Interferencia y Atenuación.
• MODULACIÓN: Inmunidad al ruido, Protege la calidad de la información, Evita interferencia.
Convoluciòn
Definición de Convolución
En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo.
La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de que una sea invertida y desplazada una distancia τ,.
El rango de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t-τ) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.
Si X y Y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:
Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).
Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones cuadrado-integrables definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones
Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un sistema (y(t)) a una entrada arbitraria (x(t)).
Dos condiciones para realizar la convolución:
• Sistema LTI.
• La respuesta al impulso del sistema es h(t).
Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema es invariante en el tiempo:
Si L{δ (t )} = h( t ) L {K * δ ( t - t0)} = K * h( t – t0).
Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t) en tiras rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la tira: ts*x (kts) ×δ (t- kts ).
Teorema de la Convolución
El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto (o interno) en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con f * g. (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces
donde • indica producto punto. También puede afirmarse que:
Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir:
.
Uso
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.
• En estadística, como ya dijimos, un promedio móvil ponderado es una convolución.
• En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
• En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
• En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
• En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
• En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución.
Tipos de Convolución
• Convolución Discreta
Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica. Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función : . Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo , que llamaremos y (donde n y k son enteros).El área es, por tanto,
La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo t = 1 :
• Convolución Circular
Cuando una función gT es periódica, con un periodo de T, entonces las funciones, f, tales como f*gT existentes, su convolución es también periódica i igual a:
Donde se escoge arbitrariamente. La suma es llamada como una extensión periódica de la función f.
Si gT es una extensión periódica de otra función, g, entonces f*gT se sabe que es circular, cíclica, o periódica de una convolución de f i g.
Método para calcular la convolución circular:
Tenemos 2 círculos, uno exterior y otro interior. Vamos girando el círculo interior i sumando sus valores. Si los dos círculos tienen diferentes tamaños, entonces el más pequeño le añadimos "0" al inicio, al final o al inicio y final.
[L >= L1 + L2-1]
Propiedades
Las propiedades de los diferentes operadores de convolución son 12
Conmutatividad
Nota: esta propiedad se puede perder si no se pide que "demos la vuelta" a una función.
Asociatividad
Distributividad
Asociatividad con multiplicación escalar
Para todo número complejo o real a.
Regla de derivación
Donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el operador diferencia
.
Teorema de convolución
Donde denota la Transformada de Fourier de f. Este teorema también se cumple con la Transformada de Laplace.
En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo.
La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de que una sea invertida y desplazada una distancia τ,.
El rango de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t-τ) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.
Si X y Y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:
Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).
Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones cuadrado-integrables definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones
Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un sistema (y(t)) a una entrada arbitraria (x(t)).
Dos condiciones para realizar la convolución:
• Sistema LTI.
• La respuesta al impulso del sistema es h(t).
Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema es invariante en el tiempo:
Si L{δ (t )} = h( t ) L {K * δ ( t - t0)} = K * h( t – t0).
Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t) en tiras rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la tira: ts*x (kts) ×δ (t- kts ).
Teorema de la Convolución
El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto (o interno) en el otro dominio (es decir dominio espectral).
Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con f * g. (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces
donde • indica producto punto. También puede afirmarse que:
Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir:
.
Uso
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.
• En estadística, como ya dijimos, un promedio móvil ponderado es una convolución.
• En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
• En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
• En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
• En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
• En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución.
Tipos de Convolución
• Convolución Discreta
Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica. Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función : . Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo , que llamaremos y (donde n y k son enteros).El área es, por tanto,
La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo t = 1 :
• Convolución Circular
Cuando una función gT es periódica, con un periodo de T, entonces las funciones, f, tales como f*gT existentes, su convolución es también periódica i igual a:
Donde se escoge arbitrariamente. La suma es llamada como una extensión periódica de la función f.
Si gT es una extensión periódica de otra función, g, entonces f*gT se sabe que es circular, cíclica, o periódica de una convolución de f i g.
Método para calcular la convolución circular:
Tenemos 2 círculos, uno exterior y otro interior. Vamos girando el círculo interior i sumando sus valores. Si los dos círculos tienen diferentes tamaños, entonces el más pequeño le añadimos "0" al inicio, al final o al inicio y final.
[L >= L1 + L2-1]
Propiedades
Las propiedades de los diferentes operadores de convolución son 12
Conmutatividad
Nota: esta propiedad se puede perder si no se pide que "demos la vuelta" a una función.
Asociatividad
Distributividad
Asociatividad con multiplicación escalar
Para todo número complejo o real a.
Regla de derivación
Donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el operador diferencia
.
Teorema de convolución
Donde denota la Transformada de Fourier de f. Este teorema también se cumple con la Transformada de Laplace.
domingo, 7 de junio de 2009
Bienvenidos a nuestro gupo !!!
El grupo Nº4 le damos la beinvenida, la finalidad de este grupo es brindarle informacion importante sobre la materia, con este pensamiento empezemos a desarrollar conocimientos.
"Así como el ignorante esta muerto antes de morir, el hombre de talento vive aun de muerto". Publio Siro.
"Así como el ignorante esta muerto antes de morir, el hombre de talento vive aun de muerto". Publio Siro.
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